「Number Talks」陪伴孩子建立數感,讓他們愛上數學

在「Number Talks」的活動中,更是可以在培養數感的過程中,無形中將數學事實讓小孩記住了,卻又不會抹煞掉孩子思考的多樣性。│教育教養好文就在未來親子

記得在國小的時候,看到費曼先生 (Richard Phillips Feynman)的書,其中一段數學拆解的過程給了我很大的啟發,從此我也開始使用類似的方式運算著數學考題以及拆解問題上,這也幫助我加強了數感與空間的概念,並在生活與考試上幫助我很多。

你是不是好奇當年費曼先生哪一段故事,給了我啟發呢?讓我回憶一下,畢竟已經過了很多年(我也不記得是哪一本書),因此故事內容可能有點出入。當年看到書上提到費曼先生在酒吧,與人打賭,可以在相當短的時間,不靠紙筆,就將任意多位數的四則運算馬上算出來,而後在那場打賭中,費曼先生也同樣不靠紙筆,以幾秒的時間去算出更複雜的數學題目(已經不是四則運算了)。事後朋友問他怎麼做到的,費曼先生跟他朋友解釋的其中一小段就是即將我要介紹的內容「Number Talks」。

 

「Number Talks」的核心之一就是視覺化,孩子能在心裡思考來解答出答案

什麼是「Number Talks」?「Number Talks」是由 Ruth Parker 與 Kathy Richardson 發展出來,是一種可以同時教小孩數感與數學事實很棒的策略方法,史丹佛大學教授 Boaler, Jo 也在他的著作 Mathematical Mindsets 大力推崇。。而這樣的思考策略方式,其實也會與TRIZ大有相關聯。而這樣的訓練方式不只是可以用在學校,更可以由父母帶著孩子練習。簡單地說就是由老師或家長提出一個抽象的數學問題給學生,而學生不能使用任何工具(紙筆等),只能在心裡思考來解答出答案。

說一個例子,請小孩在心裡思考著 9 + 4 ,你是怎麼思考運算的。然後分享你的思考策略,小孩可能會想

  • 9 + (1 +3) = (9 + 1) + 3 = 10 + 3 = 13
  • (3 + 6) + 4 = 3 + (6+4) = 3 + 10 = 13

你大概已經明白了,「Number Talks」是讓孩子明白運算方式有很多種,而我們可以將複雜的問題拆解成多個容易解答的小問題。

再來說一個例子,請小孩在心裡思考著 15 x 8,小孩可能會提出以下這些思考策略

我想你也猜想到了,費曼先生給我的啟發之一,和「Number Talks」的核心之一就是視覺化。

 

用「Number Talks」來陪伴小孩練習四則運算,建立起數感與數學事實

緊接著我就直接分享老師與家長們如何用「Number Talks」來陪伴小孩練習四則運算,建立起數感與數學事實。

喔!等一下,再給我點時間解釋一下什麼是數學事實?

我們常說的九九乘法表,就是數學事實的一個例子,這些數學事實因為日常生活以及數學運算太常被使用到,因此相信不少人有這樣的經驗,老師或是家長就是要小孩背下來這些數學事實,但也導致於不少小孩不知為何是這樣的答案。當遇到變化,也無法靈活變通,雖說數學事實給我們帶來極大的便利性,但我們不需要透過強行記憶的方式去記住數學事實,而是可以透過數感的培養,讓小孩知其所以。而「Number Talks」的活動中,更是可以在培養數感的過程中,無形中將數學事實讓小孩記住了,卻又不會抹煞掉孩子思考的多樣性

附帶一點,同時培養數感與數學事實的方式,在蒙特梭利的方法論中也有,最大的差別在於練習的過程,蒙特梭利是採用「動手做」,而費曼先生與「Number Talks」則是在心中思考。但兩者中都同樣將「視覺化」引導進入練習過程。

在引導小孩進行「Number Talks」前,我們必須先給孩子一個讓孩子不怕犯錯的環境。

可以帶孩子先以這個題目進入「Number Talks」,請小孩們看看以下這張圖有幾個點點?請不要用一個一個數喔。

小孩可能會用以下的方式進行拆解組合(解構/重構):

想成這是一個足球(六邊形),因此為 6 + 1

也可能想成一個小丑,有兩個大大的耳朵 ( 3 )和中間有一個大大的鼻子 (1):3 + 1 + 3 或是 3 + 3 + 1 或是 2 x  3 + 1

也可能想成 2 + 3 + 2

這樣是不是很容易帶小孩以遊戲化的方式開始進入「Number Talks」

而在課堂上或是一個小團體中,「Number Talks」該如何進行呢?

1. 提問題:引導者將題目寫在白板上。

2. 請給小孩足夠的時間去獨自安靜地在腦中思考,不需要紙筆,也不需要和其他人討論。

3. 時間到了,引導者可以問問小孩們答案是多少?然後引導者將答案寫在白板上,並且也問問還有沒有其他答案,直到沒有其他答案為止。但在這時候,引導者是不需要將是誰回答的名字寫在答案旁邊。 

4. 問問有沒有小孩志願分享解釋他的想法,若可以的話,甚至再進一步請他用「視覺化」來加強表示。引導者最好能鼓勵每位小孩都能分享他的思考策略,而小孩表達解釋他的思考策略時。並不是要小孩用以下的方式描述:15 x 8 答案是120,因為150 – 30。而是應該要類似這樣的方式回答,才能知道清楚描述思考脈絡。比如:因為數字湊成10比較好計算。而 8 = 10-2。所以15 x 10 – 15 x 2,這樣就比較容易計算。而小孩和我們就能清楚這小孩它採用了「以10為基準」的策略方式。

5. 小孩兩兩一組與旁邊的小孩一起討論,學會聆聽,學會一起思考

6. 記錄思考策略以及獲得到的啟發。

透過這樣的流程,小孩既可以從中瞭解學習到不同的思考方式,又可以從錯誤中學習

 

「Number Talks」有三個基本原則。

  1. 數字加倍(特別用在加法與乘法)。這是在計算過程中,提醒將任意數字加倍的方式進行,如:6 + 6 或 6 x 2 。
    • 題目範例:36加倍
    • 參考策略:
      • 我將36拆成30+6。而30 x 2 + 6 x 2 = 72
      • 我知道35加倍是70,而1加倍是2,所以 70 + 2= 72
         
  2. 數字減半(特別用在除法)。除法是平分的概念,如:30 = 15 + 15 或是 30 = 15 / 2
    • 題目範例:36減半
    • 參考策略:
      • 我知道 36 = 30 + 6。我也知道15+15等於30,所以30減半是15,我也知道3+3等於6,所以 6減半是3,36減半是 15 + 3 = 18。
      • 我知道 36 = 20 + 16。我也知道20除以2為10,我也知道16除以2等於8,所以36減半是 10 + 8 = 18。
         
  3. 從十的次方開始。這個練習主要是幫助小孩日後遇到數字較大或較小時,也能輕鬆以對。
    • 參考範例:36要加多少才能到100 (10的平方)
    • 參考策略:
      • 我要先湊成10的倍數這比較容易計算,所以36 + 4 = 40,而後再加 60 ,就等於100。因此答案是 4 + 60 = 64。
      • 我知道100 是 60 + 40,而40和36差4。因此60 + 4 = 64。
      • 我加一個十的倍數到最接近100,但不超過100,所以 36 + 60 = 96 ,然後 96 再加 4 就等於100。因此 60 + 4 = 64 。

四則運算的「Number Talks」思考策略

基本上,熟悉上面提的三個基本原則,就能衍伸不同的變化,而以下所提的四則運算的思考策略只是更詳細的實際運用介紹,但老師或家長可以鼓勵小孩想想看還有沒有更好的思考策略。

此外,在「Number Talks」中,我們不去設限只能用橫式或是直式,而是採用隨性、用最容易記住,且有高關聯性和視覺化的方式進行。

減法

會從減法開始介紹起,主要是因為加法對於年紀較大的學生,如國中生、高中生而言,他們可能會覺得太簡單,而沒有挑戰性。對於減法有兩個意義:一個是拿走消除,另一個則是數字間的距離。尤其後者的意義常常被小孩們忽略了它的重要性。而瞭解這兩個意義對於我們運算時,相當有幫助,尤其在後者運用在「視覺化」時更是扮演著關鍵要素。

被減數 – 減數 = 差   ( Minuend – Subtrahend = Difference )(題目:72 – 37 )

  1. 將減數四捨五入到十的倍數,然後調整。
    • 37四捨五入到40。72 – 40 = 32 ,因我們四捨五入時拿走了3,因此得將3加回去,因此為 32+ 3 = 35
  2. 分解減數
  3. 以加法替代,
    •  以10的倍數為基準,用在被減數、減數或是用來透過10的倍數大幅縮短兩數字中間的距離。
    • 方法一:
    • 方法二: 
    • 方法三:
  4. 相同的差,平移。
    •  這個策略非常實用且廣泛,採用的就是減法是距離的概念。而我個人也常用在方程式與代數上。
  5.  拆開分位
    • 70 – 30 = 40,2 – 7 = -5。40 – 5 = 35

 

乘法

由於乘法具有交換率,因此思考算式時,可以以數字本身的特徵多加運用。

被乘數 × 乘數 = 積 ( Factor × Factor = Product )(題目:14 × 18 )

  1. 拆解乘數為兩個或多個加數
    • 14 × ( 10 + 8 ) = ( 10 + 8 ) × 14  = 140 + 112 = 252
       
  2. 拆解乘數為多個乘數。
    • 而其中可採用加倍的方式一起運用,會比容易計算。而遇到乘數的個位數分別有 5 和 2時,也可以運用。
    • 14 × ( 2 × 3 × 3 ) = 28 × 3 × 3 = 84 × 3 = 28 × 9 = 252
    • 14 × 18 = (2 × 7 ) x ( 2 × 9 ) = 7 × 9 × 2 × 2 = 63 × 2 × 2 = 126 × 2 = 252
    • 15 × 12 = (10 + 5 ) × 12 = 120 + 60 = 180
       
  3. 四捨五入乘數,並作調整。
    • 14 × ( 20 – 2 ) = 280 – 28 = 280 – (20 + 8 ) = 260 – 8 = 252
       
  4. 減半和加倍
    14 × 18 = 28 × 9 = 84 × 3 = 252

     

加法

被加數 + 加數 = 和 ( Addend + Addend = Sum)(題目:54 + 27 )

  1. 四捨五入後調整
    • 54 + 27 = 54 + ( 30 – 3) = 84 – 3 = 81
       
  2. 先取後給
    •  這是一種分享的概念,也是一種等量平移的概念。
    • 54 + 27 = ( 51 + 3 ) + 27 = 51 + ( 3+ 27) = 51 + 30 = 81

    •  
  3. 從左至右計算。
    • 這做法與過去我們常用的由右至左的方式不同。我曾在一個印度的線上教學網站中,也看過他們鼓勵這樣的做法,而由左至右的方式,也不會失去了分位。我到現在還印象深刻,書上的費曼先生也是這麼計算著,他說這樣我就可以正確地「說出」答案了。
    • 54 + 27 = (50 + 4) + (20 + 7) = (50 + 20) + (4 + 7) = 70 + 11= 81

    •  
  4. 拆解一個加數
    • 54 + 27 = 54 + (20 + 7) = 74 + 7 = 81
  5. 往上加。這和拆解一個加數很類似,但是更多的不同是採用視覺化來運算

 

除法

被除數 ÷ 除數 = 商( Dividend ÷ Divisor = Quotient )

  1. 以乘法替代
    • 題目範例:17 ÷ 3
    • 參考策略:因為我知道 5 × 3 = 15 ,所以我有五組3,因此我就知道答案是 商是5,餘是2。
  2. 分塊
    • 將數字視為一個一個大小不一的數字積木組合而成。你也可以想成是加法的「往上加」的策略。
    • 題目範例: 739 ÷ 20
  3. 建一座數字塔
    • 題目範例:688 ÷ 17
  4. 減半再減半
    • 這是同時將被除數與除數一起減半的策略
    • 題目範例:144 ÷ 36

 

你是否也好奇小數點和分數在「Number Talks」是怎麼做呢?這部分之後會繼續寫在這一篇文章內。

「Number Talks」另一個特點「視覺化」,我就留到之後再說。

最後要提的是「Number Talks」是一個對於數感訓練有效率的方式,也因此最好經常性的練習,而「Number Talks」不需要一次花很多時間的,但是要持之以恆,所以每天花個15分鐘陪小孩玩「Number Talks」吧。

 

圖片提供:C.K. Tseng

數位編輯:黃小羽

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